revisionscharlinemartin.com Seconde

Seconde · Chapitres 1 et 2

Nombres, parité et intervalles

Les fiches résument le cours avec des schémas. Les exercices suivent l’esprit du cahier Lucas Maths : quiz, appartenance, plus petit ensemble, puis démonstrations. Chaque correction est cachée : on cherche d’abord, on vérifie ensuite.

Partie 1

Les fiches

1Les 5 ensembles de nombres

Les ensembles s’emboîtent comme des poupées russes : chaque famille est rangée dans la suivante, plus grande.

ℕ 0 1 2 48 ℤ −3 −57 𝔻 0,6 −2,04 ¼ = 0,25 ℚ 1/3 −2/7 3/7 ℝ π √2 √5

ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Phrase pour retenir l’ordre : « Nous Zappons Des Questions Rarement »

SymboleNomCe que c’estExemples
ℕentiers naturelsentiers positifs (0 compris)0 ; 7 ; 1000
ℤentiers relatifsentiers positifs ou négatifs−6 ; 0 ; 12
𝔻décimauxnombre fini de chiffres après la virgule ; s’écrit p/10n−3,1 ; 0,25
ℚrationnelss’écrit en fraction p/q avec p, q entiers, q ≠ 07/5 ; 1/3
ℝréelstous les points de la droite graduéeπ ; √2

∈ « appartient à »

Pour un nombre dans un ensemble.
5 ∈ ℕ · −2 ∉ ℕ

⊂ « est inclus dans »

Pour un ensemble dans un ensemble.
ℕ ⊂ ℤ (jamais « 5 ⊂ ℕ »)
Piège dans le cahier. Le cahier dit « dans les naturels il y a les entiers ». C’est l’inverse : les naturels sont dans les entiers. Le petit ensemble est toujours à l’intérieur du grand. Même chose pour la suite : 𝔻 est dans ℚ, ℚ est dans ℝ.
Autre piège : 0 est dans tous les ensembles (0 ∈ ℕ, donc aussi ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ).

Méthode : trouver le plus petit ensemble

  1. Le nombre est-il réel ? (toujours oui en 2de)
  2. On rentre d’un cran : est-il dans ℚ ? puis dans 𝔻 ? puis ℤ ? puis ℕ ?
  3. On s’arrête au premier « non ». Le dernier « oui » est la réponse.

Exemple : −12/4 = −3. Réel ✔ · rationnel ✔ · décimal ✔ · entier ✔ · naturel ✘ (négatif). Plus petit ensemble : ℤ.

Toujours simplifier ou calculer le nombre AVANT de chercher son ensemble !

2Décimal ou pas ? Rationnel ou pas ?

Le test du dénominateur

On prend la fraction simplifiée au maximum, puis on regarde le dénominateur :

Que des 2 et des 5 → décimal

car 10 = 2 × 5, on peut compléter jusqu’à 10, 100, 1000…
34 = 3×254×25 = 75100 = 0,75

Un autre facteur (3, 7, 11…) → pas décimal

mais quand même rationnel.
13 = 0,3333… (ça ne s’arrête jamais)
Piège : 6/15 a un 3 en bas… mais 6/15 = 2/5 = 0,4. Il est décimal ! D’où l’importance de simplifier d’abord.

Démonstration à savoir : 1/3 n’est pas décimal

C’est un raisonnement par l’absurde : on suppose le contraire et on tombe sur quelque chose d’impossible.

  1. Supposons que 1/3 ∈ 𝔻. Alors il existe p ∈ ℤ et n ∈ ℕ tels que 13 = p10n.
  2. Produit en croix : 10n = 3p. Donc 3 divise 10n.
  3. Or 10n = 2n × 5n : ses seuls facteurs premiers sont 2 et 5. Le 3 ne peut pas le diviser.
  4. Contradiction, donc l’hypothèse est fausse : 1/3 ∉ 𝔻.

Irrationnels

Un nombre est irrationnel s’il est réel mais ne s’écrit pas en fraction : π, √2, √3, √5… Il en existe des négatifs aussi : −√2.

3Racine carrée

√a est le nombre positif qui, mis au carré, donne a. Il n’existe que si a ≥ 0.

Carrés parfaits → entier

√4 = 2 · √9 = 3 · √16 = 4 · √25 = 5
Donc √4 ∈ ℕ (et donc rationnel !)

√(nombre premier) → irrationnel

√2, √3, √5, √7, √11, √29… ∉ ℚ
RègleExemple
√a × √b = √(a×b)√2 × √8 = √16 = 4
(√a)² = a(√7)² = 7
√(a²) = |a|√((−3)²) = √9 = 3
√(a+b) ≠ √a + √b√(9+16) = 5 mais √9+√16 = 7

√(a+b) ≤ √a + √b : on ne « coupe » jamais une racine sur un +

4Pair, impair : la recette

Un nombre pair, c’est un nombre qu’on peut ranger par paires. Un impair, c’est des paires plus un tout seul.

8 = = 2 × 4 → pair 9 = = 2 × 4 + 1 → impair

Montrer que c’est PAIR

On l’écrit sous la forme 2 × (un entier).

Montrer que c’est IMPAIR

On l’écrit sous la forme 2 × (un entier) + 1.

Exemple :

4m + 11 = 4m + 10 + 1 = 2 × (2m + 5) + 1 → impair
2m + 6 = 2 × (m + 3) → pair

Astuce : si le nombre seul est impair (11, 7, −5…), on le découpe en « pair + 1 »

Les règles du jeu

pairimpair
pair +pairimpair
impair +impairpair
pair ×pairpair
impair ×pairimpair

Deux entiers qui se suivent (n et n+1) : l’un des deux est pair, donc n(n+1) est toujours pair.

La disjonction de cas

Quand on ne sait pas si n est pair ou impair, on traite les deux cas l’un après l’autre :

Cas 1 : n pair

on remplace n par 2k

Cas 2 : n impair

on remplace n par 2k + 1
Identité remarquable obligatoire pour le cas impair :
(2k + 1)² = (2k)² + 2 × 2k × 1 + 1² = 4k² + 4k + 1
Rappel : (a + b)² = a² + 2ab + b²

Exemple guidé (celui du cahier, terminé) : montrer que 5n² + 3n est pair.

Cas pair n = 2k : 5(2k)² + 3×2k = 20k² + 6k = 2(10k² + 3k) → pair
Cas impair n = 2k+1 : 5(4k² + 4k + 1) + 3(2k + 1)
= 20k² + 20k + 5 + 6k + 3 = 20k² + 26k + 8 = 2(10k² + 13k + 4) → pair
Dans les deux cas c’est pair. ✔

5Multiples et diviseurs

b divise a (on écrit b | a) s’il existe un entier k tel que a = k × b. On dit aussi que a est un multiple de b.

3 | 12 car 12 = 4 × 3 · 7 | (42n + 7) car 42n + 7 = 7 × (6n + 1)

Pour montrer que 7 divise un nombre : on le factorise par 7 !

Somme

Si a | b et a | c, alors a | b + c.
(b = ka et c = la, donc b+c = (k+l)a)

Cas particuliers

1 divise tous les entiers. Tout entier divise 0 (0 = 0 × a).

Premiers entre eux

Leur seul diviseur commun (positif) est 1. Ex : 8 et 15.

Fraction irréductible

p/q avec p et q premiers entre eux. Ex : 12/18 = 2/3.

Démontrer qu’un produit ou une somme de rationnels est rationnel

On écrit a = p/q et b = r/s (entiers, q et s non nuls), on calcule, et on vérifie que le résultat est encore « entier sur entier non nul ».

a × b = p × rq × s : en haut un entier, en bas un entier non nul → rationnel ✔

6Les intervalles

Un intervalle, c’est un morceau de la droite des réels. Le sens du crochet dit si la borne est dedans ou pas.

Crochet tourné VERS le nombre [ ]

la borne est comprise (≤ ou ≥)

Crochet qui lui TOURNE LE DOS ] [

la borne est exclue (< ou >)

Avec l’infini (+∞ ou −∞), le crochet est TOUJOURS ouvert : on ne l’atteint jamais.

InégalitéIntervalleDessin
2 ≤ x ≤ 5[2 ; 5]
2 < x < 5]2 ; 5[
2 ≤ x < 5[2 ; 5[
x ≥ 2[2 ; +∞[
x < 5]−∞ ; 5[

Traduire les phrases

PhraseIntervalle
x est positif[0 ; +∞[
x est négatif]−∞ ; 0]
x est strictement positif]0 ; +∞[
x est une note sur 20[0 ; 20]
tous les réelsℝ = ]−∞ ; +∞[

Résoudre une inéquation, puis donner l’intervalle

On isole x comme dans une équation :

5x − 7 > 3x + 21
⇔ 5x − 3x > 21 + 7 (on regroupe)
⇔ 2x > 28 ⇔ x > 14 (on divise par 2)
Solutions : ]14 ; +∞[
Attention au signe moins : quand on multiplie ou divise par un nombre négatif, on retourne le sens de l’inégalité.
−2x > 6 ⇔ x < −3

Ensembles particuliers, ∩ et ∪

[a ; a] = {a}

un seul nombre. ]a ; a[ ne contient rien : c’est l’ensemble vide ∅.

∩ « inter » = ET

ce qui est dans les deux à la fois (la partie commune).

∪ « union » = OU

ce qui est dans l’un, l’autre ou les deux (on recolle).
I = [−2 ; 5] J = ]3 ; 8] −23 58 I ∩ J = ]3 ; 5] (surligné) I ∪ J = [−2 ; 8]

7Valeur absolue = une distance

|x| c’est le nombre « sans son signe » : |5| = 5, |−40| = 40. C’est toujours positif ou nul.

Le vrai sens : |x − a| est la distance entre x et a sur la droite.

77 1 −68 |x − 1| < 7 : x est à moins de 7 de 1, donc x ∈ ]−6 ; 8[
  1. Repérer le centre a (attention : |x + 3| = |x − (−3)|, le centre est −3).
  2. Repérer le rayon r (le nombre de droite).
  3. |x − a| ≤ r ⇔ x ∈ [a − r ; a + r]. Avec <, les crochets sont ouverts.

8Arc de cercle et encadrement

Un angle de 120°, c’est 120/360 = 1/3 du tour complet. Donc l’arc fait 1/3 du périmètre et le secteur 1/3 de l’aire du disque.

O A B 120° arc R
longueur de l’arc = 120360 × 2πR = 2πR3
aire du secteur = 120360 × πR² = πR²3

Encadrer : si 7 < R < 12, on applique le même calcul aux deux bornes (tout est positif, l’ordre ne change pas) :

2π×73 < x < 2π×123 donc x ∈ ]14π3 ; 8π[
Partie 2

Les exercices

Du plus facile au plus difficile. Faire l’exercice sur une feuille, puis ouvrir la correction.

1 Le Quiz Échauffement

Clique sur la bonne réponse.

1. Le plus petit ensemble qui contient √9 est :

2. L’ensemble 𝔻 est inclus dans :

3. Le nombre 1/6 est :

4. −1 < x ≤ 4 s’écrit :

5. Lequel est toujours pair (n entier) ?

2 Appartenance à un ensemble Facile

Compléter par ∈ ou ∉.

  1. −7 … ℕ
  2. 3,25 … 𝔻
  3. 2/3 … 𝔻
  4. √9 … ℕ
  5. π … ℚ
  6. −12/4 … ℤ
  7. 1/8 … 𝔻
  8. √7 … ℚ
Voir la correction
a. ∉ (négatif) · b. ∈ · c. ∉ (0,666… ne s’arrête pas) · d. ∈ (√9 = 3) · e. ∉ (π est irrationnel) · f. ∈ (−12/4 = −3) · g. ∈ (1/8 = 0,125) · h. ∉ (7 est premier)

3 Plus petit ensemble Facile

Déterminer le plus petit ensemble de nombres auquel appartient chaque nombre.

  1. 25/5
  2. −0,4
  3. 5/6
  4. √16 − 10
  5. √50
  6. 7/20
  7. (√3)²
  8. −1/7

Calcule ou simplifie d’abord, puis descends les poupées russes !

Voir la correction
a. 25/5 = 5 → ℕ · b. −0,4 → 𝔻 · c. 5/6 → ℚ (6 = 2×3) · d. 4 − 10 = −6 → ℤ · e. √50 = 5√2 → ℝ (irrationnel) · f. 7/20 = 35/100 = 0,35 → 𝔻 · g. (√3)² = 3 → ℕ · h. −1/7 → ℚ

4 Vrai ou faux Facile

  1. Tout entier naturel est un nombre décimal.
  2. Tout nombre rationnel est un nombre décimal.
  3. 0 ∈ ℕ.
  4. √2 × √2 est un nombre irrationnel.
  5. La somme de deux nombres pairs est paire.
  6. Le produit d’un nombre pair et d’un nombre impair est impair.
  7. L’ensemble ℤ contient une infinité de nombres.
Voir la correction
1. Vrai (ℕ ⊂ 𝔻, ex : 5 = 5,0) · 2. Faux (1/3 est rationnel mais pas décimal) · 3. Vrai · 4. Faux (√2 × √2 = 2) · 5. Vrai · 6. Faux (2 × 3 = 6 est pair) · 7. Vrai

5 Décimal sans calculatrice Moyen

a) Écrire sous la forme p/10n : 3/4 ; 7/25 ; 9/20.

b) Sans poser de division, dire si ces fractions sont décimales : 5/8 ; 4/15 ; 6/15 ; 7/12.

Voir la correction
a) 3/4 = 75/100 (×25) · 7/25 = 28/100 (×4) · 9/20 = 45/100 (×5)
b) 5/8 : 8 = 2×2×2 → décimal (0,625) · 4/15 : 15 = 3×5, irréductible → pas décimal · 6/15 = 2/5 → décimal (0,4), le piège ! · 7/12 : 12 = 2×2×3 → pas décimal

6 Pair ou impair ? Moyen

n et m sont des entiers relatifs. Étudier la parité de :

A = 6n + 10 B = 4n + 7 C = 8n − 3 D = 10n + 2m + 5 E = 2(n + 3) + 4

Voir la correction
A = 2(3n + 5) → pair
B = 4n + 6 + 1 = 2(2n + 3) + 1 → impair
C = 8n − 4 + 1 = 2(4n − 2) + 1 → impair (on écrit −3 = −4 + 1)
D = 10n + 2m + 4 + 1 = 2(5n + m + 2) + 1 → impair
E = 2n + 6 + 4 = 2(n + 5) → pair

7 Divisibilité Moyen

  1. Montrer que 3 divise 12n + 21.
  2. On pose A = 7n + 3 et B = 8n + 12. Montrer que 5 | A + B.
  3. Montrer que la somme de deux nombres impairs est paire.
Voir la correction
1. 12n + 21 = 3(4n + 7) et 4n + 7 est un entier, donc 3 | 12n + 21.
2. A + B = 15n + 15 = 5(3n + 3), donc 5 | A + B.
3. Soit a = 2k + 1 et b = 2l + 1 (k, l entiers). a + b = 2k + 2l + 2 = 2(k + l + 1) → pair.

Prends deux lettres différentes (k et l) : les deux impairs ne sont pas forcément égaux !

8 Disjonction de cas Difficile

Montrer que, pour tout entier n, le nombre n² + 3n est pair.

Cas 1 : n = 2k. Cas 2 : n = 2k + 1, et pense à l’identité remarquable.

Voir la correction
Cas 1, n = 2k : (2k)² + 3×2k = 4k² + 6k = 2(2k² + 3k) → pair.
Cas 2, n = 2k + 1 : (2k+1)² + 3(2k+1) = 4k² + 4k + 1 + 6k + 3 = 4k² + 10k + 4 = 2(2k² + 5k + 2) → pair.
Dans tous les cas, n² + 3n est pair.

9 Rationnels Difficile

Soit a et b deux nombres rationnels. Démontrer que a + b ∈ ℚ.

Voir la correction
a = p/q et b = r/s avec p, q, r, s entiers, q ≠ 0, s ≠ 0.
a + b = ps + rqqs (même dénominateur).
ps + rq est un entier et qs est un entier non nul (produit de deux non nuls), donc a + b ∈ ℚ.

10 Intervalles Moyen

a) Écrire sous forme d’intervalle :

  1. −3 ≤ x < 5
  2. x > 2
  3. x ≤ −1
  4. x est positif
  5. 0 < x < 1

b) Écrire l’inégalité correspondant à ]−2 ; 7].

c) Résoudre puis donner l’intervalle des solutions :

  1. 3x + 2 ≤ 11
  2. 4x − 1 > 2x + 9
  3. −5 ≤ 2x + 1 < 9
  4. −3x < 12
Voir la correction
a) [−3 ; 5[ · ]2 ; +∞[ · ]−∞ ; −1] · [0 ; +∞[ · ]0 ; 1[
b) −2 < x ≤ 7
c) 1. 3x ≤ 9 ⇔ x ≤ 3 → ]−∞ ; 3]
2. 2x > 10 ⇔ x > 5 → ]5 ; +∞[
3. −6 ≤ 2x < 8 ⇔ −3 ≤ x < 4 → [−3 ; 4[
4. On divise par −3 (négatif) donc on retourne : x > −4 → ]−4 ; +∞[

11 Valeur absolue Moyen

Écrire l’ensemble des x sous forme d’intervalle :

  1. |x| ≤ 6
  2. |x − 3| ≤ 2
  3. |x + 1| < 4
  4. |x − 10| < 0,5

Bonus : trouver a et r tels que [2 ; 10] corresponde à |x − a| ≤ r.

Voir la correction
1. centre 0, rayon 6 → [−6 ; 6]
2. centre 3, rayon 2 → [1 ; 5]
3. |x − (−1)| < 4 : centre −1, rayon 4 → ]−5 ; 3[
4. centre 10, rayon 0,5 → ]9,5 ; 10,5[
Bonus : le centre est le milieu (2 + 10)/2 = 6, le rayon est 10 − 6 = 4 → |x − 6| ≤ 4.

12 Inter et union Moyen

On donne I = [−4 ; 3[ et J = [1 ; 6]. Donner I ∩ J et I ∪ J. Faire un dessin sur une droite.

Voir la correction
I ∩ J = [1 ; 3[ (la partie commune) · I ∪ J = [−4 ; 6]

13 Arc de cercle Difficile

Un cercle a un rayon R ∈ [3 ; 5]. Deux points A et B sur le cercle forment un angle AOB de 90°.

  1. Quelle fraction du cercle représente l’arc AB ?
  2. Donner l’intervalle auquel appartient la longueur x de l’arc.
  3. Bonus : même question pour l’aire du secteur.
Voir la correction
1. 90/360 = 1/4 du cercle.
2. x = 2πR/4 = πR/2. Avec 3 ≤ R ≤ 5 : 3π/2 ≤ x ≤ 5π/2, donc x ∈ [3π/2 ; 5π/2].
3. Aire = πR²/4. 9 ≤ R² ≤ 25 donc aire ∈ [9π/4 ; 25π/4].
Partie 3

Le sujet blanc corrigé

À faire d’abord en conditions réelles, sans regarder. Puis ouvrir chaque correction.

1 Arithmétique

Correction
1. 14 − 12n = 2(7 − 6n) → pair.
2. 9p − 7p − 7 + 8n + 8 = 2p + 8n + 1 = 2(p + 4n) + 1 → impair.
3. Attention, l’énoncé semble contenir une coquille. Avec n = 1 et p = 0 : 1 + 0 + 2 = 3, qui est impair. L’énoncé voulu est sans doute n² + p² + p + n :
= n(n + 1) + p(p + 1), somme de deux produits d’entiers consécutifs, chacun pair → pair.

Bon réflexe : tester avec de petits nombres avant de démontrer.

2 Vrai ou faux

Correction
1. Faux : 𝔻 et ℚ sont inversés, le bon ordre est ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
2. Vrai : √4 = 2 = 2/1.
3. Faux : −√2 est irrationnel et négatif.
4. Faux : il y en a une infinité.
5. Faux : les chiffres sont 0 à 9, ℕ contient tous les entiers positifs.
6. Vrai : l’inverse de 2 est 0,5.
7. Vrai.

3 Question de cours : 1/3 n’est pas décimal

Correction
Voir la fiche 2 : raisonnement par l’absurde, 10n = 3p est impossible car 10n = 2n × 5n n’a pas 3 comme facteur.

4 Rationnels

Correction
1. a = p/q, b = r/s. a × b = pr/qs : entier sur entier non nul → a × b ∈ ℚ.
2. c = p/q. 2c² + 4c − 5 = 2p²q² + 4pqq² − 5q²q² = 2p² + 4pq − 5q²q² → rationnel.
(Autre façon : avec la question 1 et l’exercice 9, produits et sommes de rationnels restent rationnels.)

5 Intervalles

Correction
1. [13 ; 17] · 2. ]−∞ ; 999[ · 3. ]−1 ; 3/4] · 4. ]−∞ ; 0] · 5. centre 1, rayon 7 → ]−6 ; 8[ · 6. 2x > 28 ⇔ x > 14 → ]14 ; +∞[

6 Arc de cercle

Correction
120° = 1/3 du tour, donc x = 2πR/3. Avec 7 < R < 12 : x ∈ ]14π/3 ; 8π[ (environ ]14,7 ; 25,1[).
Si on fait le grand tour (240°), x = 4πR/3 ∈ ]28π/3 ; 16π[. Le petit arc est la réponse attendue.
Bonus : aire = πR²/3 et 49 < R² < 144, donc aire ∈ ]49π/3 ; 48π[.
Avant le contrôle

Je sais…

Fiches réalisées d’après le cours de 2de (chapitres 1 et 2) et le style du cahier Lucas Maths. Exercices et corrections originaux.